CLASE # 7 CURVAS TECNICAS

CURVAS  TECNICAS

Concepto de curva técnica

Son curvas de aplicación en la ingeniería y en la arquitectura.

Óvalos y ovoides

Son curvas técnicas formadas por circunferencias tangentes entre sí: con forma de huevo (ovoides) o con forma parecida a la de las elipses (óvalos).

En la figura vemos un óvalo inscrito en un rombo.

Espirales, volutas y evolventes

Son curvas técnicas, engendradas por un punto que se aleja o se acerca a su origen según se mueva en uno u otro sentido. Algunas están formadas por arcos de circunferencia (como las espirales de centros alineados, las de centros en los vértices de polígonos, regulares o no, las volutas y las espirales áurea y logarítmica). Otras espirales son representaciones de trayectorias, como la espiral de Arquímedes y la evolvente de la circunferencia.

En la figura vemos la espiral más sencilla, la de Honnecourt, con dos centros.

Curvas cíclicas

Son representaciones de trayectorias que se repiten una vez cumplido su ciclo. Por ejemplo, la cicloide es la trayectoria de un punto fijo sobre una circunferencia que se desplaza en línea recta, recorriendo espacios iguales en tiempos iguales.

Otras curvas

La hélice cilíndrica, que no es una curva plana, también se estudia por ser de gran aplicación en arquitectura (escaleras de caracol) y en ingeniería (formas helicoidales).



VIDEOS DE CURVAS TECNICAS

CLASE#6 HOMOTECIA

HOMOTECIA

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijO, llamado centro de la transformación

 

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

(1a)

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: , y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.
Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, una homotecia de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

Propiedades

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
7. Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).
8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .
9. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

1. todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
2. el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
3. los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
2. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
3. |k| < 1 implica una reducción.
4. k < 0, la homotecia se puede expresarar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k}, ambas de igual centro. que la homotecia original.

Homotecias en el plano real

En esta sección, los escalares serán números reales.
Una homotecia generalizada en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un 'grupo' y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

Ejes de homotecia

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra.
En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1 bien es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.
Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas.
Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias de

IMAGENES DE HOMOTECIA

 

VIDEOS DE HOMOTECIA

 

CLASE#5 SIMETRIA AXIAL

SIMETRIA AXIAL

 

La simetría axial (también llamada rotacional o radial o cilíndrica) es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas características.
Dada una recta e se llama simetría axial de eje e al movimiento que transforma a un punto P en otro punto P' verificando que:

• El segmento PP' es perpendicular a .
• Los puntos P y P' equidistan del eje .

Dicho de otra forma el eje es la mediatriz del segmento PP'
La simetría axial no solo se presenta entre un objeto y su reflexión, pues muchas figuras que mediante una línea pueden partirse en dos secciones que son simétricas con respecto a la línea. Estos objetos tienen uno (o más) ejes de simetría.
La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.
A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A’ es homólogo de A, B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura simétrica. En este caso: La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría.
Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.

La "simetría axial" (también llamada "rotacional", "radial" o "cilíndrica") es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o "axisimetría" cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas características.
Dada una recta \scriptstyle e se llama simetría axial de eje e al movimiento que transforma a un punto P en otro punto P' verificando que:
- El segmento PP
- Los puntos P y P'

IMAGENES DE SIMETRIA AXIAL


            

VIDEO DE SIMETRIA AXIAL    

 

VIDEO EN GEOGEBRA          

 

       

CLASE #4 SIMETRIA CENTRAL

SIMETRIA CENTRAL

 

 Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando O es el punto medio del segmento.
La simetría respecto de un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos.
En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.

 SIMETRÍA CENTRAL Y COORDENADAS

Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas: Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).

Coordenadas de los puntos	Coordenadas de sus simétricos
A=(3, 1)	A=(-3, -1)
B=(1, 2)	B=(-1, -2)
C=(2, -1)	C=(-1, 2)
Texto de celda	Texto de celda

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto del origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.
 EJEMPLOS DE SIMETRIA CENTRAL

VIDEO DE SIMETRIA CENTRAL

 

 

VIDEO DE USO DE GEOGEBRA

 

 





CLASE#3 SIMETRIA DE DESLIZAMIENTO

SIMETRIA DE DESLIZAMIENTO

Simetría con deslizamiento.

En realidad, la simetría con deslizamiento es la combinación de dos movimientos: una simetría axial y una traslación con un vector paralelo a ese

TRASLACIONES

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

ROTACION Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo

IMAGENES DE DESPLAZAMIENTO

IMAGENES DE ROTACION
 

 

                                                

VIDEO DE SIMETRIA FACIL

 

 

 

 

USO DE GEOGEBRA

 

CLASE#2 DEFINICIONES

CONCEPTOS

En geometria, las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrias: traslación, simetría y rotació

TIPOS DE FUNCIONES

 sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el dominio, es decir, palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".IONESes biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

 inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de

GRUPO

un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas

GRUPO AVELEANO

Grupo abeliano (o conmutativo). Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la Propiedad conmutativa, es decir

• Grupo abeliano con torsión Definición de torsión: Diremos que un elemento posee torsión o, que es de torsión, si para algún . Si a es de torsión, entonces el menor número natural n con la propiedad , coincide con el orden de a. Definición de grupo abeliano con torsión: Un grupo abeliano A se dice con torsión si es igual a 0 o si posee elementos no nulos de torsión.
• Grupo abeliano de torsión. Un grupo abeliano A se dice de torsión si todo elemento de A es de torsión.

PLANO



un plano es el ente ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales

CONGRUENCIA

En geometría, dos conjuntos de puntos son congruentes (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones.

1. reflexividad:
2. simetría: si entonces también

transitividad: si y entonces también

CLASE#1 CONTENIDOS

MATERIA: ALGEBRA Y TRANSFORMACION DEL PLANO.



CONTENIDOS:
 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACION DEL PLANO

  TRANSFORMACION EN EL PLANO CARTESIANO.

  GRAFICA     TRIDIMENCIONAL.


OBJETIVO:    DESARROLLAR   TECNICAS       DE           PRENDIZAJES PARA       TRANSFORMACIONES DEL PLANO
                       

PRESENTACION

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